Corrigé.pdf

0) On montre que x est holomorphe sans utiliser le fait que l’immersion X ⊂C2 et pr1 : C2 →C sont holomorphes entre variétés de dimension ≥1 de la manière suivante :
si P ∈X vérifie ∂f/∂y(P) ̸= 0 alors pr1 : X →C est une carte dans laquelle x devient l’identité.
Sinon pr2 : X →C est une carte de réciproque z 7→(h(z), z) et x devient dans cette carte z 7→h(z).
On peut en déduire directement le diviseur de x mais sinon on utilise le cours : le diviseur de x est formé de ses zéros comptés avec multiplicités, or pour tout P ∈X d’abscisse nulle, on a ordP(x) = multP(pr1) = 1 + ordP(∂f/∂y) = 2 donc div(x) = 2 · (0, 0).
De même pour y.

1) On vérifie que f ∗(div(φ)) = div(φ ◦f) pour tout g ∈M(Y ) −0.
En notant e = multP(f) et en appliquant le théorème de forme normale à f en P, et en écrivant g dans la carte correspondante, cela revient à comparer l’ordre de g(ze) et celui de g(z) en z = 0.

2) Appliquer la formule deg(f) = ∑P∈f−1(Q) multP(f).

3) Similaire à la question 1 et presque fait en TD ; il faut comparer l’ordre d’annulation en z = 0 de eze−1g(ze) et celui de g(z).

4) On commence par remarquer que G/H est bien une fonction ensembliste sur un ouvert dense de P2C.
Elle fournit par restriction une fonction ensembliste sur un ouvert dense de X et il s’agit de prouver la méromorphicité ce qui se fait dans des cartes.

5.1) Il serait déjà très facile de prouver que G/H est bien méromorphe sur X en utilisant le concept de fonctions holomorphes à plusieurs variables :
G/H est une fonction ensembliste définie sur un ouvert de PnC et dans les cartes usuelles, elle devient (par exemple dans la première carte) F/G(1, x1, · · · , xn) holomorphe sur un ouvert de Cn.

5.2) Utiliser div(G) = div(G′)+divG/G′) et le fait que G/G′ est une fonction méromorphe.

5.3) Choisir G = Hd avec H monôme non identiquement nul sur X.

6) Enfin une question un peu intéressante...
Soit G de degré 1 homogène.
Quitte à appliquer un élément de PGL3(C) agissant par homographie, on peut supposer G((X, Y, Z) = X et [0 : 0 : 1] /∈X.
On peut alors utiliser la fonction méromorphe x/y pour déterminer div(G).
On trouve que div(G) est le diviseur des zéros de x/y.

7) Le théorème de Bezout dit que si F, G sont deux polynômes homogènes de degrés d, d′ sans facteur irréductible commun, les courbes définies par F = 0 et G = 0 s’intersectent dd′ fois comptées avec multiplicité.

8) Assez long, cf le poly :
quitte à appliquer une homographie on suppose que fφX → P1C, [X, Y, Z] 7→[X, Y ] est bien définie, donc un morphisme de surfaces de Riemann (formellement cela se prouve dans des cartes au but et à la source, c’est un peu répétitif...).

Exercice 2 :
1. Il suffit d’associer (pour U ⊂X un ouvert variable) à une fonction méromorphe sur U son diviseur.

2. Si pour U ⊂C une boule ouverte, tout diviseur est principal, alors notre suite de faisceaux est exacte à droite.
Cet énoncé est vrai (en fait idem pour tout U ⊂C ouvert quelconque) mais est souvent mal documenté.

3. Il n’est pas flasque puisque des fonctions holomorphes sur C∗peuvent avoir une singularité essentielle en 0 donc ne pas s’étendre en des fonctions méromorphes sur C.
Il est néanmoins acyclique sur les surfaces de Riemann comme admis dans l’énoncé, cf https://www.math.wustl.edu/~matkerr/MerR.pdf (référence dans laquelle les auteurs corrigent une erreur classique, qui est de penser que ce faisceau est acyclique pour toutes les variétés).