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Summary

a) Ein Element d ∈ R ist ein größter gemeinsamer Teiler von a, b ∈ R, wenn es die Eigenschaften i) d teilt a und b und ii) jeder Teiler d' von a und b teilt auch d besitzt.
b) In einem faktoriellen Ring R existiert für je zwei Elemente a, b ∈ R \ 0 ein größter gemeinsamer Teiler d, gegeben durch d = ∏ pi^min(ni, mi), wobei a und b in ihre Primfaktorzerlegung als a = e ∏ pi^ni und b = e' ∏ pi^m_i ausgedrückt werden.
c) Der Polynomring Q[x, y] ist faktoriell, da Q ein Körper ist und Polynomringe über faktoriellen Ringen wieder faktoriell sind, was bedeutet, dass je zwei Elemente einen größten gemeinsamen Teiler haben.
d) Wenn a, b ∈ R relativ prim sind, dann sind sie auch teilerfremd, da ua + vb = 1 bedeutet, dass 1 ein Teiler von a und b ist und somit der größte gemeinsame Teiler.
e) Die Elemente x, y ∈ Q[x, y] sind teilerfremd, aber nicht relativ prim, da 1 ein größter gemeinsamer Teiler ist, aber es keine u(x, y), v(x, y) ∈ Q[x, y] mit u(x, y) · x + v(x, y) · y = 1 gibt.

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a) Ein Element d ∈ R ist ein größter gemeinsamer Teiler von a, b ∈ R, wenn es die Eigenschaften i) d teilt a und b und ii) jeder Teiler d' von a und b teilt...

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