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Formelsammlung Höhere Mathematik I + II

1. Komplexe Zahlen
- Komplexe Zahl: z = a + jb = |z| e^(jφ)
- Imaginäre Einheit: j = i = √(-1)
- Real- und Imaginärteil: ℜ{z} = a, ℑ{z} = b
- Umrechung von Winkel in Bogenmaß: (2π)/(360°)
- Argument einer komplexen Zahl: φ = arctan(ℑ/ℜ) + π für ℜ < 0
- Betrag einer komplexen Zahl: |z| = √(ℜ^2 + ℑ^2) = √(z z̄)
- Eulersche Form der komplexen Zahl: z = |z| (cos(φ) + jsin(φ)) = |z| e^(jφ)

2. Funktionen einer Veränderlichen
- Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
- Gerade Funktion: f(x) = f(-x)
- Ungerade Funktion: -f(x) = f(-x)
- Monoton steigend: x1 < x2 ∧ f(x1) ≤ f(x2)
- Monoton fallend: x1 < x2 ∧ f(x1) ≥ f(x2)
- Beschränktheit: U ∈ ℝ, f(x) ≤ U (nach oben beschränkt), L ∈ ℝ, f(x) ≥ L (nach unten beschränkt)
- Komposition von Funktionen: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

3. Folgen und Reihen
- Potenzreihe: f(x) = ∑[k=0 bis ∞] ak x^k
- Geometrische Reihe: f(x) = ∑[k=0 bis ∞] x^k
- Asymptotische Gleichheit: an ~ bn für n → ∞
- Konvergenzradius: lim[k→∞] |ak / a(k+1)| = R
- Exponentialreihe: e^x = ∑[k=0 bis ∞] x^k / k!
- Sinus- und Cosinusreihe: sin(x) = ∑[k=0 bis ∞] (-1)^k x^(2k+1) / (2k+1)!, cos(x) = ∑[k=0 bis ∞] (-1)^k x^(2k) / (2k)!
- Logarithmusreihe: ln(1+x) = ∑[k=1 bis ∞] (-1)^(k+1) x^k / k
- Binomische Reihe: (1+x)^α = ∑[k=0 bis ∞] (α choose k) x^k

4. Differenzialrechnung
- Differenzenquotient: Δf / Δx = (f(x) - f(x0)) / (x - x0)
- Differentialquotient: f'(x) = df/dx = lim[x→x0] (f(x) - f(x0)) / (x - x0)
- Wichtige Ableitungen: f'(x) für e^x, ln|x|, sin(ωx + x0), cos(ωx + x0), tan(ωx), atan(ωx)
- Taylor-Polynom: ∑[k=0 bis ∞] ak (x - x0)^k, a_k = f^(k)(x0) / k!
- Regel von L'Hôspital: lim[x→∞] f(x) / g(x) = lim[x→∞] f'(x) / g'(x)

5. Integralrechnung
- Partielle Integration: ∫[a bis b] f(x) g(x) dx = [F(x) g(x)] von a bis b - ∫[a bis b] F(x) g'(x) dx
- Integration durch Substitution: ∫[0 bis 4] x * e^(√x) dx
- Uneigentliche Integrale: ∫[a bis ∞] f(x) dx = lim[b→∞] ∫[a bis b] f(x) dx