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Kommutierende Matrizen.pdf

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Summary

Seien A, B komplexe (n × n)-Matrizen mit AB = BA.
a) Es wird gezeigt, dass B jeden Eigenraum von A invariant lässt: Für jeden Eigenraum U von A gilt Bu ∈ U für alle u ∈ U, da ABu = BAu = B(λu) = λBu.
b) Es wird gezeigt, dass A und B einen gemeinsamen Eigenvektor haben: Nach Teil a) ist B|U ein Endomorphismus von U, der ein charakteristisches Polynom χB|U ∈ C[X] hat, das nach dem Fundamentalsatz der Algebra mindestens eine Nullstelle µ ∈ C hat, entsprechend einen Eigenvektor 0 ≠ v ∈ U ⊂ Cn mit Bv = B|Uv = µv und Av = λv.
c) Ein Beispiel zeigt, dass die Aussage aus b) ohne die Voraussetzung AB = BA im Allgemeinen nicht gilt: Die Matrizen A = 0 1 1 0 und B = 1 0 0 0 über C haben keine gemeinsamen Eigenvektoren, da ihre Eigenräume paarweise nur in 0 0 schneiden.

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Seien A, B komplexe (n × n)-Matrizen mit AB = BA.

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