Komplex_2015-10-27_T L.pdf

Tenta i komplex analys, F/ Kf och TM, MVE 025 och MVE 295, 2015-10-29.
Hjälpmedel: Formelblad.
Betygsgränser: 1-19 (U), 20-29 (3), 30-39 (4), 40-50 (5).
Uppgifter:
1. a. Beräkna Fouriertransformen av f(t) = 1 / (t^2 - 4t + 13) med residykalkyl.
b. Beräkna Fouriertransformen av g(t) = (t - 2) / ((t^2 - 4t + 13)^2) med resultatet från a.
2. a. Bestäm antalet nollställen med multiplicitet för polynomet p(z) = 2z^5 - 6z^2 + z + 1 i området 1 < |z| < 2.
b. Bestäm antalet nollställen för samma polynom i vänstra halvplanet.
3. Bestäm de fyra första termerna i Laurentserieutvecklingen av f(z) = e^z / (z(z^2 + 1)) i området 0 < |z| < 1 och beräkna integralen av f(z) / z^3 över |z| = 1/2.
4. Bestäm bilden av området {z; Re(z) > 0, |z - 1| > 1} under avbildningen f(z) = (2 - z) / z.
5. Beräkna Laplacetransformen av Laguerrepolynomet pk(t) = (1 / k!) e^(-t) (d/dt)^k (t^k e^(-t)).
6. Visa att om f(z) = h(z) / g(z) där g(0) = 0 men g'(0) != 0, så är residyn av f i 0 lika med f(0) / g'(0).
7. Visa att en funktion f som är holomorf i området {z; |z| < R} (där R > 0) kan utvecklas i potensserie.
8. Visa att om p(z) är ett polynom av grad n > 1 med endast enkla nollställen z1, z2, ..., zn, så är summan av 1 / p'(zj) = 0.
Lösningar:
1. a. Fouriertransformen av f(t) = 1 / (t^2 - 4t + 13) är (π/3) e^(-2ix) e^(-3|x|).
b. Fouriertransformen av g(t) = (t - 2) / ((t^2 - 4t + 13)^2) är (-ix/2) (π/3) e^(-2ix) e^(-3|x|).
2. a. Antalet nollställen med multiplicitet för p(z) = 2z^5 - 6z^2 + z + 1 i området 1 < |z| < 2 är 3.
b. Antalet nollställen för samma polynom i vänstra halvplanet är 3.
3. De fyra första termerna i Laurentserieutvecklingen av f(z) = e^z / (z(z^2 + 1)) är 1/z + 1 - (1/2)z - (5/6)z^2.
Integralen av f(z) / z^3 över |z| = 1/2 är -5πi/3.
4. Bilden av området {z; Re(z) > 0, |z - 1| > 1} under avbildningen f(z) = (2 - z) / z är {z; -1 < Re(z) < 0}.
5. Laplacetransformen av Laguerrepolynomet pk(t) är (s - 1)^k / s^(k + 1).
6. Residyn av f(z) = h(z) / g(z) i 0 är f(0) / g'(0) om g(0) = 0 men g'(0) != 0.
7. En funktion f som är holomorf i området {z; |z| < R} (där R > 0) kan utvecklas i potensserie.
8. Summan av 1 / p'(zj) = 0 om p(z) är ett polynom av grad n > 1 med endast enkla nollställen z1, z2, ..., zn.