Linalg_2006-08-23_T.pdf

TMA660 - Matematik CTH - Tentamensskrivning em Linjär algebra e geometri F, realizado em 23 de agosto de 2006, das 14h às 18h, sem ajudas, incluindo calculadoras. As questões incluem:

1. (a) Resolver o sistema linear de equações para cada valor do parâmetro λ.
(b) Para λ = 0, encontrar o sistema de equações que dá a solução em mínimos quadrados.

2. (a) Encontrar a linha de interseção entre o plano x - 2y - z = 7 e x - 2y = 3.
(b) Determinar a equação da linha no plano x + 2y - z = 2 que intersecta a linha l em ângulo reto.

3. Resolver a equação z^4 + z^2 + 1 = 0.

4. Encontrar a matriz da transformação linear T e calcular sua determinante.

5. (a) Calcular o ângulo geométrico entre os vetores OA1 e OA2 em termos de x1, x2, y1, y2.
(b) Provar que o ângulo geométrico entre os vetores OB1 e OB2 é igual ao ângulo entre OA1 e OA2.

6. Usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar a desigualdade entre a média aritmética e a média quadrática.

7. Formular e provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

8. Formular e provar o teorema de que os zeros não reais de polinômios com coeficientes reais ocorrem em pares conjugados complexos.