Start Reading.pdf

М+556. В трапец ABCD ( AB CD) диагоналите AC и BD се пресичат в точка O, а лицата на триъгълниците ABO, CDO и BCO са съответно a, b и c. Ако е изпълнено равенството 6c = a - b, да се намери отношението на голямата основа към малката. Решение. Тъй като c = ab, то 6ab = a - b. Следователно 6a = a - b. Ако a = xb, то 2x - 6 = 0. Следователно търсеното отношение е x = 3, т.е. 3:1.

М+557. Точките M, N и P лежат съответно върху страните BC, CA и AB на ABC, така че ANP = BMP = MPN. а) Ако CP = MN = Q, да се намери геометричното място на точката Q, когато P описва страната AB. б) Да се определи положението на точката P, при което MN = CP. Да се докаже, че при това положение на P периметърът на четириъгълника CMPN е по-голям от удвоения диаметър на вписаната в ABC окръжност.

М+558. В изпъкнал четириъгълник ABCD са изпълнени равенствата 90 = ABD и AC = BD/AD = BC. Точката P лежи върху правата AD така, че D е между A и P и 90 = DCP. Да се докаже, че описаните окръжности на триъгълниците ABC и DCP са допирателни.

М+559. Да се реши уравнението 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 5zy - 6x + 2y + 6z - 12 = 0, където x, y, z е Р. Решение. Преобразуваме лявата страна на уравнението, като отделяме точни квадрати.