Решения.pdf

Условия и решения задач (районная математическая олимпиада 2020 г.) 8 класс
1. Может ли сумма цифр квадрата натурального числа быть равна 2021?
Решение: Квадрат целого числа (как и сумма его цифр) даёт при делении на 3 остаток 0
или 1. А число 2021 при делении на 3 даёт остаток 2.
Ответ: нет.

2. При записи десятичной дроби школьник все её цифры написал правильно, а вот
запятую поставил так, что в результате была написана дробь, которая меньше
нужной на 18,189. Какую десятичную дробь должен был записать школьник?
Решение: Так как в результате ошибки число уменьшилось, то запятая была сдвинута
влево. При этом число уменьшилось в 10 раз. Пусть получилось число x, тогда искомое
число – это 10x. По условию: 10x – x = 18,189, значит, x = 2,021, 10x = 20,21.
Ответ: 20,21.

3. Известно, что

Докажите, что a  b.
Доказательство. Преобразуем данное равенство, умножив обе его части на 3ab(a + 2b).
Получим: b(a + 2b) + 2a(a + 2b) = 9ab. После раскрытия скобок и приведения подобных
слагаемых равенство примет вид: 2b2 + 2a2 – 4ab = 0. Следовательно, (a – b)2 = 0, откуда a
= b. Что и требовалось доказать.

4. Точка E – середина стороны AB параллелограмма ABCD. На отрезке DE нашлась
такая точка F, что AD = BF. Найдите величину угла CFD.
Решение: Продолжим DE до пересечения с прямой BC в точке K (см. рисунок). Так как
BK || AD, то KBE = DAE. Кроме того, KEВ = DEА и АЕ = ВЕ, значит, равны
треугольники BKE и ADE. Тогда BK = AD = BC.

Таким образом, в треугольнике CFK медиана FB равна половине стороны, к которой она
проведена, поэтому этот треугольник – прямоугольный с прямым углом F. Следовательно,
и угол CFD – прямой.
Ответ: 90.

5. Взяли 2021 произвольное натуральное число и расположили их по кругу.
Докажите, что всегда найдутся два соседних числа, сумма которых - четное число.
Решение: Сумма 2 чисел будет чётной, если они оба чётные или оба нечётные. Сумма 2
чисел будет нечётной, если одно из них будет чётное, а другое – нечётное. Допустим, что
сумма любых 2 соседних чисел нечётна, тогда чётные и нечётные числа должны
чередоваться. Значит, общее число чисел будет чётным, а по условию чисел 2021, –
нечётное количество. Значит, допущение сделано неверно, и на самом деле найдутся 2
числа, сумма которых будет чётна.