Решения.pdf

Всероссийская олимпиада школьников 2014г, муниципальный этап, математика, 11 класс. Общее время выполнения работы – 3 часа 55 мин. Критерии оценки: 7 баллов за полностью решенную задачу, 6-7 баллов за верное решение с небольшими недочетами, 5-6 баллов за верное решение с существенными ошибками, 4 балла за верное рассмотрение одного случая, 2-3 балла за получение вспомогательных утверждений, 1 балл за рассмотрение отдельных случаев, 0 баллов за отсутствие продвижений в решении.

Задания:
1. Доказать, что четыре точки пересечения двух парабол с взаимно перпендикулярными осями лежат на одной окружности.
2. Доказать, что система неравенств не имеет решений.
3. Решить уравнение (1 + x + x2)(1 + x + ... + x5) (1 + x + ... + x17) = (1 + x + ... + x8)3.
4. Указать положение точки A, при котором треугольник ABC имеет наибольшую площадь.

Решения:
1. Введены координаты, уравнения парабол, получено уравнение окружности, на которой лежат четыре точки пересечения парабол.
2. Предположено, что система неравенств имеет решение, получены противоречивые неравенства.
3. Умножено обе стороны уравнения на (1 −x)3, получено уравнение (1 −x3)(1 −x6) (1 −x18) = (1 −x9)3, найдены корни x = 0, x = ±√(−3/5).
4. Указано, что точка A должна лежать на пересечении первой окружности с линией центров.