Dynamique Des Flots Unipotents Sur Les Espaces Homogènes.pdf

Considérons le flot ~t sur le tore T~‘ = R’~~Z’~ défini par :
mod
oû w = (wl, ~ ~ ~, w~.) est un vecteur de R’~. On sait depuis
L. Kronecker que si les Wi sont linéairement indépendants sur Q, toutes les
orbites de ~t sont denses dans le tore. En général, l’adhérence d’une orbite
est un sous-tore de Tn, de dimension égale au rang de
sur Q.
Soit maintenant G un groupe de Lie connexe et r un réseau de G,
c’est-à-dire un sous-groupe discret tel que le volume (de Haar) du quotient
à gauche rB(? soit fini. Un sous-groupe H de G opère naturellement à
droite sur rBG. Dans quelles conditions a-t-on un résultat analogue à celui
de L. Kronecker garantissant l’homogénéité des adhérences d’orbites?
Dans une série de quatre articles, M. Ratner vient d’obtenir une réponse
très satisfaisante en résolvant une conjecture de M.S. Raghunathan [71-72-
73-74]. Pour l’énoncer, convenons de dire qu’un élément g d’un groupe de
Lie G est unipotent si l’automorphisme adjoint Ad(g) de l’algèbre de Lie g
est unipotent, c’est-à-dire n’a que 1 comme valeur propre. Un sous-groupe
H de G est unipotent si tous ses éléments sont unipotents.
THÉORÈME (M. Ratner, 1990).-
sous-groupe unipotent d’un
groupe de Lie G et r un réseau de G. Pour tout x de rlG, il existe un
sous-groupe fermé H(x) de G tel que l’adhérence de l’orbite x.H de x par
H dans rBG coincide avec l’orbite x.H(x) de x par H(x).
S. M. F.
Astérisque 206
(1992)
E. GHYS
Cet énoncé n’est pas le meilleur possible ; nous en donnerons d’autres
versions plus loin.
Il n’est pas surprenant que ce résultat ait des conséquences concer-
nant les approximations diophantiennes. Avant la preuve du théorème
précédent, G.A. Margulis avait développé des méthodes qui lui permirent
de démontrer en 1987 la conjecture de A. Oppenheim [50].
THÉORÈME (G.A. Margulis, 1987).- Soit Q une forme quadratique
indéfinie et non dégénérée sur Rn (n > 3). Qn suppose que Q n’est pas
un multiple d’une forme rationnelle. Alors, pour tout ~ > 0, il existe un
vecteur v de Z~‘ tel que 0 Q(v) ~.
Par la suite, S.G. Dani et G.A. Margulis ont amélioré significativement
ce théorème comme nous le verrons plus loin.
Les preuves des théorèmes de S.G. Dani-G.A. Margulis et M. Ratner
sont longues et difficiles ; il n’est pas possible de les décrire ici. Dans cet
exposé élémentaire, nous nous sommes fixés un but très modeste. Nous
nous proposons d’illustrer les méthodes employées dans le cas simple où le
groupe G est SL(2, R) : il s’agit alors d’étudier le flot horicyclique d’une
surface à courbure -1. Ce cas renferme déjà une bonne partie des dif-
ficultés. Nous espérons que son étude préliminaire permettra au lecteur
d’aborder plus facilement les preuves complètes qui sont publiées ou en
cours de publication. Signalons par ailleurs l’existence de l’article [27] de
S.G. Dani et G.A. Margulis qui propose une introduction élémentaire à ces
questions d’approximations diophantiennes.
Ce rapport est organisé de la façon suivante. Le premier paragraphe est
consacré à des motivations : il retrace l’histoire du flot horicyclique et mène
à des énoncés plus précis des théorèmes de M. Ratner. Le paragraphe 2
décrit quelques méthodes utilisées par S.G. Dani et G.A. Margulis pour
approcher la conjecture de M.S. Raghunathan. Le paragraphe 3 donne
quelques ingrédients de la preuve de M. Ratner, toujours illustrés dans le
cas de SL(2, R). Enfin, dans le paragraphe 4, nous discutons trois applica-
tions : valeurs des formes quadratiques sur les points entiers, phénomènes
de rigidité ergodique et existence de laminations géodésiques sur les variétés
hyperboliques.