Einführung In Die Statistik: Schätzer Und Konfidenzintervalle.pdf

Thema: Schätzer & Konfidenzintervalle

Ausgabe: Woche 49, Abgabe der Lösungen: bis Freitag, 12. Dezember, 16.15 Uhr,
Besprechung: Woche 51

Aufgabe 80 [Eigenschaften von Schätzern]
Gegeben sei eine Stichprobe x1, ..., xn aus einer N(µ, σ²)-Verteilung. Geben Sie einfache Beispiele für:
a) einen Schätzer für µ, der zwar erwartungstreu, aber nicht konsistent ist.
b) einen Schätzer für µ, der zwar konsistent, aber nicht erwartungstreu ist.

Aufgabe 81 [KI bei Normalverteilung, σ² bekannt]
Es wird angenommen, dass die Durchmesser der auf einer bestimmten Anlage hergestellten Stahlkugeln durch die Realisationen einer normalverteilten Zufallsgröße mit σ = 1.14 mm beschrieben werden können. Aus einer Stichprobe vom Umfang n = 250 ergab sich ¯x = 12.55 mm. Bestimmen Sie für die Vertrauenswahrscheinlichkeit von 0.95 die Grenzen des KI für den mittleren Durchmesser dieser Kugeln.

Aufgabe 82 [MSE = V + b², Lemma 7.6]
Zeigen Sie: Mit den Bezeichnungen aus 7.1.3 gilt: MSE(ˆµn, µ) = Vµ[ˆµn] + b².

Aufgabe 83 [MLE bei der Exponentialverteilung]
Berechnen Sie den MLE, wenn die Daten x1, ..., xn aus einer Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0 stammen. Macht das Resultat Sinn?

Aufgabe 84 [MLE bei der Bernoulli-Verteilung]
Berechnen Sie den MLE, wenn die Daten x1, ..., xn aus einer Bernoulli-Verteilung mit Parameter p ∈ (0, 1) stammen. Macht das Resultat Sinn?

Aufgabe 85 [KI bei Normalverteilung, σ² unbekannt]
Der Durchmesser der von einer bestimmten Maschine gefertigten Stahlkugeln für Kugellager seien ungefähre normalverteilt. Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 17 erhielt man einen mittleren Durchmesser ¯x = 9.2 mm und eine Streuung s² = 0.59 mm². Bestimmen Sie hieraus ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ zum Niveau (1 - α) = 0.95.

Honours

Aufgabe 86 [Erwartungstreuer Schätzer der Varianz]
Sei (Xi)n i=1 eine Folge von iid-Zufallsgrößen mit E[X²] < ∞. Zeigen Sie: n-1 n X j=1 (Xj - X)² ist ein erwartungstreuer Schätzer der Varianz. Dieses Resultat gilt übrigens für beliebige Verteilungen!

Aufgabe 87 [Konfidenzintervalle für Proportionen]
Sie werden beauftragt, als statistischer Consultant der Republikaner bei den U.S. Primaries herauszufinden, wie groß der Anteil der Anhänger von Mitt Romney an der gesamten Wahlbevölkerung ist. Dazu lassen Sie eine Umfrage unter 1000 Personen durchführen. Genau 555 Personen gaben an, dass sie Mitt Romney wählen werden - der Rest wählt jemand anderen. Gehen Sie mal davon aus, dass die 1000 Personen repräsentativ ausgewählt wurden und ehrliche Antworten gaben. a) Wie hoch schätzen Sie den Anteil der Anhänger von Mitt Romney? Bitte mit mathematischer Begründung und Nennung der Methode. b) Geben Sie ein 95 %-KI für den Anteil der Anhänger von Mitt Romney an. Benutzen Sie dazu den CLT. Gehen Sie bei den Berechnungen von einer unendlich großen Gesamtpopulation aus.