2020_E_c_matematica_ M_st-nat_Test_14.pdf

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică Mşt-nat Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică Mşt-nat
Test 14
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I
(30 de puncte)
1. Arătați că numerele 11/5 - 6 și 11/5 + 6 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
2. Se consideră funcția f(x) = (ln(x) + 1)/(x - 1). Demonstrați că funcția f este impară.
3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x^4 + 2x^2 - 4 = 0.
4. Determinați numărul de submulțimi ordonate cu 3 elemente ale mulțimii {1, 3, 5, 7}.
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-1, 2), B(0, 3) și C(-1, 2). Determinați ecuația dreptei AD, știind că ABCD este paralelogram.
6. Triunghiul ABC are AB = 10 și AC = 5. Arătați că sin(C) = 2sin(B).
SUBIECTUL al II-lea
(30 de puncte)
1. Se consideră matricea A = [[1, 2, 1], [2, 3, 0], [2, 4, -a]] și sistemul de ecuații
2x + y - z = -2,
-x + y + az = -1,
x + y + z = -4,
unde a este număr real.
a) Arătați că det(A) = a^2 + 2, pentru orice număr real a.
b) Pentru a = 0, determinați inversa matricei A.
c) Pentru a ≠ -2, rezolvați sistemul de ecuații.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă xy = (x^2 + y^2 - 2)/5.
a) Arătați că x(-x) = -x, pentru orice număr real x.
b) Se consideră funcția f(x) = 10 - 5e^(-x). Demonstrați că f(x)f(y) = f(x + y), pentru orice numere reale x și y.
c) Determinați numărul real x, astfel încât xx*x = 23.
SUBIECTUL al III-lea
(30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f(x) = (x^2 + 4x + 5)/(x^2 - 4).
a) Arătați că f'(x) = (2x + 4)/(x^2 - 4) - (2x)(x^2 + 4x + 5)/(x^2 - 4)^2, x ∈ .
b) Demonstrați că axa Ox este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f.
c) Demonstrați că imaginea funcției f este intervalul (0, +∞).
2. Se consideră funcțiile f(x) = x^3 - 2x + 1 și F(x) = x^2 - 2x + ln(x + 1).
a) Arătați că funcția F este o primitivă a funcției f.
b) Calculați ∫(x^2 - 2x + 1)dx de la 1 la 2.
c) Determinați numărul real a, a > 1, astfel încât ∫(x^2 - 2x + 1)dx de la 1 la a = ln(a^2/2).