Circuit à Modulation De Longueur D'impulsion - Spectre D'un Signal Porteur En Dent De Scie.pdf

1. Compléter le tableau de valeurs de f sur le document réponse.

| x | f(x) |
| --- | --- |
| -T/2 | T/2 - (-T/2) = T/2 |
| -T/2 + T/8 | T/2 - (-T/2 + T/8) = 7T/8 |
| -T/2 + T/4 | T/2 - (-T/2 + T/4) = 3T/4 |
| -T/2 + T/2 | T/2 - (-T/2 + T/2) = 0 |
| T/2 | T/2 - T/2 = 0 |
| T/2 + T/8 | T/2 - (T/2 + T/8) = -T/8 |
| T/2 + T/4 | T/2 - (T/2 + T/4) = -T/4 |
| T/2 + T/2 | T/2 - (T/2 + T/2) = -T/2 |

La fonction f est représentée sur la figure 3.

2. La valeur moyenne a0 de f est donnée par :

a0 = 1/T ∫[T/2, -T/2] f(x) dx
= 1/2 ∫[1, -1] (1 - x) dx
= 1/2 [x - x^2/2] de -1 à 1
= 1/2 [1 - 1/2 - (-1 - 1/2)]
= 1/2 [1 - 1/2 + 1 + 1/2]
= 1

3. Les coefficients an et bn (n ≥ 1) du développement en série de Fourier de f sont donnés par :

an = 2/T ∫[T/2, -T/2] f(x)cos(nπx) dx
= 2/2 ∫[1, -1] (1 - x)cos(nπx) dx
= ∫[1, -1] (1 - x)cos(nπx) dx
= 2/sin(nπ) [cos(nπ) - 1]
= 0

bn = 2/T ∫[T/2, -T/2] f(x)sin(nπx) dx
= 2/2 ∫[1, -1] (1 - x)sin(nπx) dx
= ∫[1, -1] (1 - x)sin(nπx) dx
= 2/nπ [cos(nπ) - 1 - nπsin(nπ)]
= 2nπcos(nπ) - 2sin(nπ)

4. Les valeurs de bn pour n allant de 1 à 5 sont données par :

| n | bn |
| --- | --- |
| 1 | 2πcos(π) - 2sin(π) = -2π |
| 2 | 4πcos(2π) - 2sin(2π) = -4π |
| 3 | 6πcos(3π) - 2sin(3π) = -6π |
| 4 | 8πcos(4π) - 2sin(4π) = -8π |
| 5 | 10πcos(5π) - 2sin(5π) = -10π |

5. La représentation graphique de la fonction f (en pointillés) et la représentation graphique d’une fonction sn pour n valant 1, 2, 3 ou 5 (traits pleins) sont données sur les figures suivantes :

Figure A : s1
Figure B : s2
Figure C : s3
Figure D : s5

6. La valeur efficace Eeff de f sur [−1 ; 1] est donnée par :

E2
eff = 1
2
Z1
−1
£
f (x)
¤2 dx
= 1
2
∫[1, -1] (1 - x)^2 dx
= 1
2
[2 - 4x + 2x^2] de -1 à 1
= 1
2
[2 - 4 + 2]
= 0,5

La valeur approchée P de E2
eff en se limitant aux cinq premiers termes de la somme est donnée par :

P ≈ a0^2 + 1/2 [a1^2 + b1^2 + a2^2 + b2^2 + a3^2 + b3^2 + a4^2 + b4^2 + a5^2 + b5^2]
= 1^2 + 1/2 [0^2 + (-2π)^2 + 0^2 + (-4π)^2 + 0^2 + (-6π)^2 + 0^2 + (-8π)^2 + 0^2 + (-10π)^2]
= 1 + 1/2 [4π^2 + 16π^2 + 36π^2 + 64π^2 + 100π^2]
= 1 + 1/2 [200π^2]
= 1 + 100π^2

La valeur de P est arrondie à 10^(-3) et est égale à 1,5708.

La valeur de P/E2
eff est arrondie à l'unité et est égale à 3,1416.

Le résultat du b indique que la valeur efficace Eeff de f sur [−1 ; 1] est comprise entre 0,5 et 1,5708, ce qui signifie que la valeur efficace de f est comprise entre 50% et 157,08% de la valeur moyenne de f.

EXERCICE 2

Partie A

1. Une solution particulière de (E) sous la forme d’une constante est donnée par :

y(t) = 12

2. Les solutions de l’équation homogène (E0) associée à (E) sont données par :

y(t) = K e^(-t/RC)

3. Les solutions de l’équation (E) sont données par :

y(t) = 12 + K e^(-t/RC)

4. La valeur de R permettant de réaliser cela est donnée par :

R = 1/10

Partie B

1. Le sens de variations de e sur [0 ; +∞[ est donné par :

e(t) = 4te^(-2t)U(t)

Le sens de variations de e est positif sur [0 ; +∞[.

2. La transformée de Laplace E(p) de la tension d’entrée e(t) est donnée par :

E(p) = 4/(p + 2)^2

3. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’égalité (E1), on obtient :

S(p) = 4/(p + 2)^2(p + 1)

4. La décomposition de S(p) en éléments simples est donnée par :

S(p) = 4/(p + 1) - 4/(p + 2)^2

La tension de sortie s(t) est donnée par :

s(t) = 4e^(-t) - 4e^(-2t)U(t)

5. La tension de sortie s(t) est représentée en fonction de t sur le document réponse.

La tension de sortie s(t) est supérieure ou égale à 0,25 volt pendant environ 1,5 seconde.

Partie C

1. La probabilité que la résistance soit conforme est donnée par :

P = 1 - Φ((515 - 500)/10)
= 1 - Φ(1,5)
= 0,9332

La probabilité que la résistance soit conforme est arrondie à 10^(-3) et est égale à 0,933.

2. La plus grande valeur décimale à un chiffre après la virgule que peut avoir σ pour que 95% au moins des résistances produites soient conformes est donnée par :

σ = 2,5

La valeur de σ est choisie de manière à ce que 95% au moins des résistances produites soient conformes.