Fourier_2008-01-18_T L.pdf

MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola
Fourieranalys F2/Kf2, MVE030, 6 poäng TMA132, 7,5 poäng
OBS! Ange namn, personnummer, kurskod samt linje och inskrivningsår.
Hjälpmedel: Beta, Standard Math. Tables, typgodkänd räknedosa
Telefon: Ragnar Frej 0762-721860
2008-01-18 kl. 08.30–13.30
1. Med hjälp av utveckling i Fourier-Bessel serie hitta en lösning u(r, θ, t) av randvärdeproblem för värmeekvationen ut = 2∆u −5u i cirkelskivan r < 1 med begynnelsevillkoret u(r, θ, 0) = r3 cos(3θ) och randvillkoret ur(r, θ, t) = cos(3θ) för r = 1.
2. a) Utveckla i serie i Legendrepolynomer på intervallet (−1, 1) funktionen f(x): f(x) = x3, x ∈(0, 1), f(x) = 0, x ∈(−1, 0].
b) Med hjälp av konforma avbildningar och symmetri hitta i området (x, y) ∈R2, 0 < y < x, den elektrostatiska potentialen u, ∆u = 0, som är lika med 1 på x-axeln y = 0, 0 < x < 2, lika med −1 för y = 0, x > 2, och som har normalderivatan 0 på linjen y = x.
3. Lös med hjälp av utvecklingen i Fourier serie i egenfunktioner av ett passande Sturm-Liouville problem ekvationen utt −2ut + 5u = uxx, 0 < x < π, t > 0 med randvillkoren ux(0, t) = 1, u(π, t) = 1 och begynnelsevillkoren u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0.
4. Med hjälp av Fouriertransformation bestäm en lösning till problemet uxx + uyy = 0, −∞< x < ∞, y > 0; u(x, 0) = x/(x2 + 1).
5. Funktionen f(x) definieras som f(x) = ∫∞ −∞ eixξ/(1 + ξ)dξ. Beräkna ∫∞ −∞|f(x)|2dx, ∫∞ −∞f(x)dx, ∫∞ −∞f(x)e2ixdx, ∫∞ −∞f(x)g(x)e−3ixdx där ˆg(ξ) = cos(ξ), ξ ∈(5, 6), ˆg(ξ) = 0 utanför (5, 6).
6. Lös ekvationen uxx + uyy −u = 0 i rektangeln x ∈(0, 1), y ∈(0, 2π) med randvillkoren uy(x, 0) = x(1 −x), x ∈(0, 1), u = 0 på resten av randen.
7. a) Berätta om reglerna för termvis derivering och termvis integrering av Fourier serier.
b) Berätta så mycket som du kan om tillämpningar av konforma avbildningar i hydrodynamik.
8. Berätta så mycket som du kan om samplingsprocessen, samplingsteorem och tillämpningar.
Varje uppgift kan ge max. 8 p. Skrivningen beräknas färdigrättas den 25. januari. Lösningsförslag publiceras på kursens webbsida 21.januari.