Løsningsforslag TMA4105.pdf

El momento de inercia con respecto al eje x viene dado por Ix = ∫ de 0 a 1 ∫ de -x a √(2x-x^2) y^2 dy dx = 1/3 ∫ de 0 a 1 (8x^3 + x^3) dx = 1/3 (3/4) x^4 | de 0 a 1 = 3/4.

Se define la función F(x, y, z) = x^2/2 + y^2/12 - z^2/32, entonces el gradiente ∇F(x, y, z) = (x, 2y, -2z/9) es un vector normal a la hipérbola en el punto (x, y, z).

En el punto (2, 1, 3), ∇F(2, 1, 3) = (4, 2, -6/9) = (4, 2, -2/3), entonces el plano tangente a la hipérbola en (2, 1, 3) viene dado por 4(x-2) + 2(y-1) - (2/3)(z-3) = 0, que se simplifica a x + 2y - (2/3)z = 2/3.

Para la segunda parte, se utiliza la ley de Newton F = ma, donde F es la fuerza, m es la masa y a es la aceleración. La función de posición r(t) = (cos t, sin t, 2t) describe la trayectoria de un objeto, y su derivada r'(t) = (-sin t, cos t, 2) es la velocidad. La aceleración es r''(t) = (-cos t, -sin t, 0).

La fuerza F es igual a ma, entonces F = m (-cos t, -sin t, 0) = -m (x, y, 0), que es igual a G. La velocidad inicial v(0) = r'(0) = (0, 1, 2).

La magnitud de la velocidad v(t) = |r'(t)| = √(sin^2 t + cos^2 t + 2^2) = √5, que es constante. El campo de fuerza G solo cambia la dirección de la velocidad, no su magnitud.

El trabajo realizado por la fuerza G a lo largo de la curva C es cero, ya que G es perpendicular a la curva en cada punto.

En la última parte, se calcula el área de una superficie S que es una superficie de rotación alrededor del eje z, con una proyección en el plano xy dada por 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ e^2 para x ≥ 0 y y ≥ 0.

El área de S se calcula utilizando la fórmula para el elemento de área dσ en coordenadas cilíndricas, y se obtiene que el área A = (π/2) ∫ de 1 a e (r √(1 + 4r^2)) dr.

Utilizando la fórmula para la integral de √(a^2 + x^2), se obtiene que A = (π/2) (e^2 √(4 + e^2) + 2 ln(e + √(4 + e^2)) - (√5 + 2 ln(1 + √5))).

También se calcula el flujo de un campo vectorial F a través de una superficie S, utilizando el teorema de la divergencia, y se obtiene que el flujo es igual a 9π.

Finalmente, se calcula el valor de una función f(x, y, z) = x z e^(2y) en el punto (1, ln 2, 8), y se obtiene que f(1, ln 2, 8) = 32. Se estima que el error en este cálculo es menor o igual a 10.