Решения на задачите.pdf

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Нациовнално есенно състезание по физика
Велико Търново, 8-10 ноември 2019 г.
Примерни решения на специалната тема (6. състезателна група)

Задача 1. Падащ пясък
Част 1. Приемаме за нулев момента на минаване на кутията през равновесно
положение. Тогава отместването на кутията се описва с уравнението:
(1)

[0.5 т]
Да разгледаме падаща песъчинка, която в даден момент t се намира под кутията в точка
с вертикална координата y. Това означава, че песъчинката е падала до този момент в
продължение на време:
(2)


[0.5 т]
Следователно песъчинката се е отделила от отвора в по-ранен момент:
(3)


[1.0 т]
в точка с x-координата:
(4)


[1.0 т]
и с хоризонтална скорост:
(5)


[1.0 т]
Следователно x-координатата на песъчинката в момента t е:
(6)





[1.0 т]
В момента t = 0 получаваме:
(7)




[1.0 т]
Интересно е, че ако изберем безразмерни координати: и

уравнението на струята се описва с универсална футкция:
(8)


Част 2. Прилагаме уравнение (6) за песъчинка, която се удря в пода в момнта t.
Понеже в този момент y = H, x-координатата на песъчинката е:
(9)




[1.0 т]
От полученото уравнение виждаме, че x-координатата на падащия пясък е
суперпозиция на две хармонични трептения, отместени по фаза с
[1.0 т].
Следователно „амплитудата” на трептенето на пясъчната струя е:
(10)




[1.0 т]
Дължината на образуваната пясъчна леда е равна на удвоената амплитуда:
(11)


[1.0 т]


2

Задача 2. Магниттен капан
Част 1. Частиците се движат през цялото време в равнината, в която са излъчени.
Избираме декартова координатна система XYZ, където оста X съвпада с проводника и е
по посока на тока, оста Y е перпендикулярна на проводника и насочена към източника
на йони, а оста Z е перпендикулярна на равнината на движение. Разглеждаме йон,
чиято начална скорост сключва ъгъл  с оста X, т.е. компонентите на скоростта му са
съответно:
(1)

[0.25 т]
и
(2)

[0.25 т]
Във всеки момент уравненията за движение на частицата по двете оси имат вида:
(3)

[0.5 т]
и
(4)

[0.5 т]
където:
(5)


[0.5 т]
e Z-компонентата на магнитната индукция на разстояние y от проводника (X- и Y-
компонентите са нула)..Като вземем предвид, че

, получаваме връзка
между промяната на скоростта по Х и малко преместване по Y:
(6)


[1.0 т]
Интегрираме двете страни на уравнението от началния момент, когато
0y
d

до
произволен момент. Така получаваме връзка между моментната стойност на X-
компонентата на скоростта и моментната стойност на координатата y:
(7)



[0.5 т]
Когато частицата достига минимално или максимално разстояние от проводника,
нейната Y-компонента на скоростта е нула. Понеже магнитното поле не върши работа
върху частицата, кинетичната енергия, а следователно и големината на скоростта на
частицата се запазва, т.е. . Следователно екстремните координати на частицата
удоволетворяват условието:
(8)




[1.0 т]
или
(9)



Най-голямо разстояние от всички излъчени йони достигат тези, които са излъчени под
ъгъл
180

, т.е. в посока противоположна на тока:
(10)


[0.25 т]
Минималното разстояние съответства на частици, излъчени по посока на тока, т.е. под
ъгъл
0

:
(11)


[0.25 т]
Интересен факт е, че
2
max min
r
r
d

.


3

Част 2. Траекториите на частиците са изобразени качествено на фигурата.
Критерии за оценка на чертежа
Максимално разстояние съответства на частици,
излъчените под ъгъл 180°, а минимално разстояние - на частици, излъчени под ъгъл 0°.