МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ
ХХVI НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ
http://astro-olymp.org
І кръг
Ученици от 11 - 12 клас – решения
1 задача. Червената планета. Въпреки десетките космически мисии, изпратени
до Марс, досега ние не сме се срещали с обитателите на тази планета. Всъщност
марсианците са много потайни и необщителни. Те не обичат да напускат своите секретни
градове. Делят се на три групи. Едните са убедени, че Марс има два естествени спътника.
Другите смятат, че има само един спътник, а третите не вярват въобще планетата им да
има някакви спътници.
• Определете приблизително в кои области от Марс живеят трите групи
марсианци. Намерете необходимите числени данни и приемете, че Фобос и Деймос се
движат по кръгови екваториални орбити около планетата.
Решение:
Причината за разминаването в убежденията на консервативните марсианци
относно броя на техните спътници е в това, че не навсякъде по марсианската повърхност
Фобос и Деймос могат да се появяват над хоризонта.
Радиусът на Марс е ?= 3389.5 km. Радиусът на орбитата на Фобос е
?1 = 9376 km.
Както се вижда от фигурата, най-северната точка от марсианската повърхност, за
която Фобос може да се наблюдава в даден момент, е точката A1 с планетографска
ширина 1, а най-южната – точка B1, със същата по стойност ширина, но в южното
полукълбо на планетата.
cos ?1 = ?
?1
?1 ≈68.8°
Радиусът на орбитата на Деймос е ?2 = 23458 km. По аналогичен начин за
максималната планетографска ширина, от която този спътник може да бъде видян,
получаваме:
cos ?2 = ?
?2
?2 ≈81.7°
Оттук заключаваме, че марсианците, които знаят, че планетата им има два
спътника, живеят в областта между паралелите с 68.8 северна и 68.8 южна
планетографска ширина. Те виждат над хоризонта както Фобос, така и Деймос. Онези,
които мислят, че Марс има само един спътник, живеят в ивиците между 68.8 и 81.7
северна ширина и между 68.8 и 81.7 южна ширина. Те могат да видят само Деймос, но
не и Фобос. Жителите на Марс, които са убедени, че планетата им няма спътници, живеят
в малките области около северния и южния полюс на Марс, ограничени от паралелите с
81.7 северна и южна ширина.
Следва да се уточни, че границите на описаните области са приблизителни,
понеже не се отчита обстоятелството, че видимостта на даден спътник може да се
повлияе от релефа на съответната местност, специфичните особености на формата на
планетата и евентуално съществуващата, макар и нищожна рефракция в разредената
марсианска атмосфера.
Критерии за оценяване (общо 10 т.):
За правилен алгебричен метод за определяне на максималната планетографска
ширина, от която може да се види един спътник – 4 т.
За пресмятане на ширините на границите на видимост на Фобос и Деймос – 2 т.
За описание на зоните, в които живеят трите групи марсианци – 4 т.
2 задача. Посидоний. Древногръцкият учен Посидоний е живял през II - I век
пр.н.е. След като дълго е пътешествал и събирал знания, той се заселил на остров Родос,
където открил своя философска школа. Там е направил опит да определи радиуса на
земното кълбо по свой метод. Според Посидоний звездата Канопус се издига на
максимална височина 1/48 част от пълната окръжност в град Александрия, а на остров
Родос едва се показва над хоризонта. Разстоянието между наблюдателния пункт на
остров Родос и Александрия е било 5000 стадия. Посидоний е смятал, че тези два пункта
се намират на един и същи меридиан.
• А) Определете радиуса на земното кълбо в стадии по метода на Посидоний.
• Б) Ератостен, а след това и Посидоний, са оценили приблизително размерите
на Луната и разстоянието от Земята до Луната. Опишете как би могло да стане това чрез
измерване на времеви интервали и ъглови величини по небето и чрез наблюдение на
централно пълно лунно затъмнение.
Решение:
На дадената схема с точка А е означен град Александрия, а с точка Б - остров Родос.
Предполага се, че двете точки лежат на един и същи меридиан.
Използвайки данните, че звездата Канопус се издига на максимална височина 1/48
част от пълната окръжност в град Александрия, а на остров Родос едва се показва над
хоризонта, можем да определим радиуса на земното кълбо по метода на Посидоний.
Разстоянието между Александрия и Родос е 5000 стадия.
Предполага се, че земното кълбо е идеална сфера с радиус R.
От схемата е видно, че ъгълът, под който се вижда звездата Канопус в Александрия,
е 1/48 от пълната окръжност, което съответства на 7,5°.
Следователно, радиусът на земното кълбо по метода на Посидоний е:
R = 5000 / (1/48) = 5000 * 48 = 240 000 стадия.
Така, радиусът на земното кълбо, определения по метода на Посидоний, е
240 000 стадия.
