2020_E_c_matematica_ M_st-nat_Test_04.pdf

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică Mşt-nat Test 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică Mşt-nat
Test 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I
(30 de puncte)
1. Determinați termenul 7 al progresiei geometrice bn = b^n, știind că b5 = 3 și b_6 = 6.
2. Se consideră funcția f: [0, 20] → R, f(x) = x^2 - 20. Determinaţi numerele reale a, știind că f(a) = a.
3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x^3 - 5x + 1 = 5x^5.
4. Determinaţi câte numere naturale impare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5,6}.
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-1,0), B(0,1) și C(1,0). Determinaţi coordonatele ortocentrului triunghiului ABC.
6. Calculaţi cos2x, știind că tg(x) = 3 și 0 < x < π/2.
SUBIECTUL al II-lea
(30 de puncte)
1. Se consideră matricele A = [[1, 0], [0, 1]] și B = [[0, 0], [0, 1]] și M(x) = A + xB, unde x este număr real.
a) Arătați că det(M(x)) = 1.
b) Demonstrați că M(x)M(y) = M(y)M(x) dacă și numai dacă x = y.
c) Determinați perechile de numere întregi (m, n) pentru care M(m) + M(n) = M(n) + M(m).
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = xy + 7.
a) Arătați că (x y) 1 = x (y 1) = x + y + 7, pentru orice numere reale x și y.
b) Determinați numerele reale x, pentru care x x = 5.
c) Dați exemplu de numere distincte a, b pentru care numărul a * b este natural.
SUBIECTUL al III-lea
(30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f: [0, +∞) → R, f(x) = (2x - 1) / (x + 1) - ln(x).
a) Arătaţi că f'(x) = 2 / (x + 1)^2, pentru x > 0.
b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcţiei f este paralelă cu dreapta de ecuație y = -x.
c) Demonstrați că f(2π) < 0.
2. Se consideră funcţia f: [0, +∞) → R, f(x) = ln(x).
a) Arătaţi că ∫(1 / f(x)) dx = e^x.
b) Calculați ∫(f(x) / x) dx de la 1 la 2.
c) Determinaţi numărul real p, p > 1, știind că ∫(f(x) / x^p) dx de la 1 la 2 = (3/4) - (1/p).